✨ 단위벡터는 단위행렬과는 정말 달랐다!

한 줄 요약: 단위벡터는 원래 벡터와 방향은 같고 길이만 1로 만든 벡터이며, 표준기저벡터는 좌표축 방향의 특정 단위벡터 집합입니다!

🤔 단위벡터? 단위행렬? 이름은 비슷한데 뭐가 다를까?

처음 수학을 배울 땐, \( (1,0), (0,1) \) 같은 벡터를 보고 "단위벡터"라고 착각하기 쉽습니다. 하지만 단위벡터는 원래 벡터의 방향을 그대로 유지하면서 길이만 1로 만든 벡터입니다.

단위벡터는 길이 \( 1 \)을 가지며, 방향은 원래 벡터와 같습니다. 예시:

단위행렬은 벡터를 변환해도 변하지 않는 항등 변환 행렬입니다. 예:

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

표준기저벡터(standard basis vector): 좌표축 방향을 가리키며, 길이가 1 예: \( (1,0), (0,1), (0,0,1) \)
단위벡터(unit vector): 어떤 방향이든 가능하지만, 길이는 1
표준기저벡터는 특별한 방향(좌표축 방향)의 단위벡터

📌 정리: 표준기저벡터는 좌표축(x축, y축 등) 방향을 가지는 단위벡터입니다!

정사영 공식도 단위벡터 기반으로 설명됩니다:

\[ \mathrm{proj}_{\mathbf{a}}(\mathbf{b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a} \]

단위벡터, 표준기저벡터, 단위행렬은 모두 "길이"와 "방향"을 다루지만, 의미와 역할은 다릅니다. 이 구분을 확실히 이해하면 수학과 선형대수를 훨씬 쉽게 공부할 수 있습니다! 🚀